নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2=2.1, 6=3.2.1, 24=4.3.2.1!, 120=5.4.3.2.1,...$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2=2.1=2!, 6=3.2.1=3!, 24=4.3.2.1=4!, 120=5.4.3.2.1=5!.....$

এখন লক্ষ করি:
$$\begin{gathered} 4!=4.3.2.1=4.\left(4-1\right).\left(4-2\right).\left(4-3\right) \\ 5!=5.4.3.2.1=5.\left(5-1\right).\left(5-2\right).\left(5-3\right).\left(5-4\right) \end{gathered}$$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n!=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right).......... 3. 2. 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5.4.3}{1.2.3}=\frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3).\left(2.1\right)}=\frac{5!}{3!\times 2!}=\frac{5!}{3!\times \left(5-3\right)!}$

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7.6.5.4}{1.2.3.4}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{\left(1.2.3.4\right).\left(3.2.1\right)}=\frac{7!}{4!\times 3!}=\frac{7!}{4!\times \left(7-4\right)!}$

$\therefore$সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}={}^{n}C_r$

$\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)=\frac{7!}{4!\left(7-4\right)!}={}^{7}C_4$ এবং $\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}={}^{5}C_3$

সুতরাং, $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r$ অর্থাৎ,$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ ও ${}^{n}C_r$এর মান এক।

আমরা জানি$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)={}^{n}C_n=\frac{n!}{n!\left(n-n\right)!}=\frac{n!}{n!\left(0\right)!}=\frac{1}{0!} \\ \therefore 1=\frac{1}{0!}, \end{gathered}$$

অর্থাৎ $0!=1$

মনে রাখতে হবে

$$\begin{gathered} n!=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)........3.2.1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r, {}^{n}C_r=1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)={}^{n}C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}, \left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)={}^{n}C_0=1 \\ \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)={}^{n}C_n=1, 0!=1 \end{gathered}$$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ কে ${}^{n}C_r$ দ্বারা প্রকাশ করব।
$$\begin{gathered} {\left(1+y\right)}^n=1+{}^{n}C_{1}y+{}^{n}C_2{y}^2+{}^{n}C_3{y}^3+ .........+ {}^{n}C_n{y}^n \\ \Rightarrow {\left(1+y\right)}^n=1+ny+\frac{n\left(n-1\right)}{2!}{y}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3!}{y}^3+....... +y^n \end{gathered}$$

এবং অনুরূপভাবে,
$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^n=x^n+{}^{n}C_1{x}^{n-1}y+{}^{n}C_2{x}^{n-2}{y}^2+{}^{n}C_3{x}^{n-3}{y}^3+.......+{}^{n}C_r{x}^{n-r}{y}^r+.......+{}^{n}C_n{y}^n \\ \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n+n{x}^{n-1}y+\frac{n(n-1)}{1.2}{x}^{n-2}{y}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3}{x}^{n-3}{y}^3+..........+y^n \end{gathered}$$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${\left(1+y\right)}^n$ এর সাধারণ পদ বা $\left(r+1\right)$ তম পদ $T_{r+1}=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)y^r$ বা  ${}^{n}C_r{y}^r$
এখানে,$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ বা ${}^{n}C_r$ দ্বিপদী সহগ।
$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^n=x^n+{}^{n}C_1{x}^{n-1}y+{}^{n}C_2{x}^{n-2}{y}^2+{}^{n}C_3{x}^{n-3}{y}^3+...........+{}^{n}C_n{y}^n \\ \Rightarrow {\left(x+y\right)}^n=x^n+n{x}^{n-1}y+\frac{n\left(n-1\right)}{1.2}{x}^{n-2}{y}^2+\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1.2.3}{x}^{n-3}{y}^3+........+y^n \end{gathered}$$
সাধারণ পদ বা  $\left(r+1\right)$ তম পদ $T_{r+1}=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)x^{n-r}{y}^r$ যেখানে $\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$ বা${}^{n}C_r$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^5$কে বিস্তৃত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

$$\begin{gathered} {\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^5=x^5+{}^{5}C_1{x}^{5-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)+{}^{5}C_2{x}^{5-2}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2+{}^{5}C_3{x}^{5-3}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+{}^{5}C_4{x}^{5-4}{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5 \\ =x^5-5x^4.\frac{1}{x^2}+\frac{5.4}{1.2}{x}^3.\frac{1}{x^4}-\frac{5.4.3}{1.2.3}{x}^2\frac{1}{x^6}+\frac{5.4.3.2}{1.2.3.4}x\frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}} \\ =x^5-5x^2+\frac{10}{x}-\frac{10}{x^4}+\frac{5}{x^7}-\frac{1}{x^{10}} \end{gathered}$$